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一类二簧系统的力分析

引 言

柔顺并联机构因其结构的柔顺性和对载荷的敏感性，在机器人的装配作业和机器人的力控制等方面有着潜在的广泛应用。其典型的应用实例是机器人柔顺腕。柔顺并联机构的力学模型可以简化为弹簧系统，对其力分析包括两类基本问题，即力的逆分析和正分析。已知外载荷求其平衡位置，是逆分析问题；已知各弹簧长度求外载荷，是正分析。因塑分析问题涉及到高度耦合的非驱动IC线性方程组的求解，所以难度比正分析要大的多。目前国内外多篇文章［1～4，6］对几种不同的弹簧系统进行了基本的力分析。 文献［1］对图1所示的一类平面二簧系统进行了力的逆分析，并对系统随载荷的行为变化作了初步分析。本文利用Dixon结式对这类二簧系统的力逆分析提出了一种新解法，该方法比文献［1］的解法更具一般性。通过对这类弹簧系统弹性势能随外力变化规律的分析，本文因此基材可 选择PPGMT40或PPGMT30提出了该系统灾变点的判别式，分析了判别式值在机构靠近灾变点时的变化规律。

图11比木材更有吸引力 力的逆分析 1.1 原始方程的建立

如图1所示。两弹簧一端各通过固定铰链A和B与机架相联，另一端铰接在一起，用P表示。以A点为坐标原点建立直角坐标系，x轴通过B点。两弹簧的原长分别是L01和L封箱机02，受载荷作用后的长度分别是L1和L2，弹簧刚度分别是k1和k2,铰链A和B之间的距离是d，两弹簧与x轴正向的夹角分别是θ1和θ2。外载荷作用在P点，以Fx和Fy表示。该系统的力逆分析要解决的问题是已知外载荷Fx和Fy求解两弹簧受载荷后的长度L1和L2及位置角度θ1和θ2。本文中把L01、L02、k1、k2和d称作系统的固定参数。

在P点，根据力平衡方程，可得Fx=k1(L1-L01)c1+k2(L2-L02)c2 (1)Fy=k1(L1-L01)s1+k2(L2-L02)s2 (2) 根据几何约束，可得L2s2=L1s1 (3)L2c2=L1c1-d (4)上式中，c1=cosθ1,s1=sinθ1,c2=cosθ2,s2=sinθ2。 1.2 方程的消元和求解

把式(3)、(4)代入式(1)、(2)中，电镀机消去L2，整理可得Fx-k1(L1-L01)c1-k2(L1c1-d)+k2L02c2=0 (5)Fy-k1(L1-L01)s1-k2L1s1+k2L02s2=0 (6)用c2乘式(3)，用s2乘式(4)，并将所得的两新式相减，消去L2，得L1s1c2-L1c1s2+ds2=0 (7) 方程(5)～(7)中已消去L2，只含L1、θ1和θ2三个未知数，将上述方程中的三角函数用欧拉公式表示：c1=(t1+t-11)/2, s1=(在经济下行压力较大的情况下t1-t-11)/2i,

c2=(t2+t-12)/2, s2=(t2-t-12)/2i,式中t1=eiθ1,t2=eiθ2,同时以t2为压缩变量，那么上述三个方程可写成如下形式：f(t1,L1)=E11+E12t1+E13L1+E14t21+E15t21L1 (8)g(t1,L1)=E21+E22t1+E23L1+E24t21+E25t21L1 (9)h(t1,L1)=E31t1+E32L1+E3吉林3t21L1 (10)方程(8)～(10)的系数中不仅包含系统的固定参数，而且还包含未知变量t2。根据Dixon结式原理，构造下列行列式：此行列式中必含有(t1-u)(L1-v)因子，故有下式δ(t1,L1,u,v)=Δ(t1,L1,u,v)/［(t1-u)(L1-v)］该式中u的最高幂次为3，v为0，t1为1，L1为1。此式可写成如下形式，δ(t1,L1,u,v)=t2f1(t1,L1)u3+t22f2(t1,L1)u2+

t22f3(t1,L1)u1+t42f4(t1,L1)u0上式中f1(t1,L1)、f2(t1,L1)、f3(t1,L1)、f4(t1,L1)既包含系统的固定参数，也包含未知变量t2。无论u取何值，对于f(t1,L1)=0,g(t1,L1)=0,h(t1,L1)=0的公共根，δ恒为零，又因t2≠0,所以必然有f1(t1,L1)=0 (11)f2(t1,L1)=0 (12)f3(t1,L1)=0 (13)f4(t1,L1)=0 (14)方程组(11)～(14)可写成 (15)其中，